Найдём объёмы шаров:

Найдём объём V вы­плав­лен­но­го из них куба:

Найдём a ребро куба:

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти S куба:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Найдём объёмы кубов:

Найдём объём V вы­плав­лен­но­го из них шара:

Найдём R ра­ди­ус шара:

Пло­щадь по­верх­но­сти S куба:

Ответ:

Пусть ис­ход­ная пи­ра­ми­да изоб­ра­же­на на ри­сун­ке (см. рис) таким об­ра­зом, что ADC  — ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ADC ги­по­те­ну­за AC равна

Центр O₁ опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ADC яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной его ги­по­те­ну­зы, он рав­но­удалён от точек A, D и C. Центр O опи­сан­ной во­круг пи­ра­ми­ды сферы также рав­но­удалён от этих точек и от точки B, по­это­му лежит на пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ной AC. По­сколь­ку центр O рав­но­удалён от точек B и D, он лежит на MO  — вы­со­те к сто­ро­не BD тре­уголь­ни­ка DBO. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной сферы равен от­рез­ку DO. Так как MOO₁D  — пря­мо­уголь­ник (углы MDO и MDO₁), то:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке DOO₁:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). По усло­вию тогда

Тре­уголь­ник SOB пря­мо­уголь­ный, тогда имеем:

Най­дем объем ко­ну­са по фор­му­ле

По усло­вию тогда OB  =  3 см, AB  =  2OB  =  6 см.

По след­ствию из тео­ре­мы си­ну­сов тогда

По фор­му­ле пло­ща­ди опи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ:

Про­ве­дем осе­вое се­че­ние ко­ну­са, по­лу­чим рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник SAB и опи­сан­ную во­круг него окруж­ность (боль­шая окруж­ность дан­ной сферы). Пусть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са L  =  PB. Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са По фор­му­ле пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти

По усло­вию зна­чит, AB  =  2OB  =  2 см.

Най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти:

По фор­му­ле пло­ща­ди впи­сан­ной сферы по­лу­чим:

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APC − осе­вое се­че­ние ко­ну­са

(). Най­дем по­ло­щадь тре­уголь­ни­ка APK:

Тогда:

От­сю­да По тео­ре­ме си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка APK:

Най­дем те­перь пло­щадь сферы по фор­му­ле :

Ответ:

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APK  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са

По тео­ре­ме си­ну­сов: От­сю­да:

Длин­на OH равна рас­сто­я­нию от цен­тра сферы до точки C, тогда:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен Найдём пло­щадь S по­верх­но­сти сферы:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Найдём объём V шара:

Ответ:

Изоб­ра­зим плос­кост­ное се­че­ние двух ко­ну­сов и впи­сан­но­го шара. На ри­сун­ке BH  =  HD  =  1 см  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ния ко­ну­сов. Тогда вы­со­ты ко­ну­сов CH и AH со­от­вет­ствен­но равны 2 и 1 см.

Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти, се­че­ния впи­сан­но­го шара:

Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BHA и DHA равны по двум ка­те­там. Тогда при­ме­ним для них тео­ре­мы Пи­фа­го­ра и по­лу­чим Ана­ло­гич­но, для тре­уголь­ни­ков BHC и DHC имеем Тогда

Зная пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: от­ку­да

Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти впи­сан­ной сферы, зная ее ра­ди­ус:

Ответ:

Изоб­ра­зим плос­кост­ное се­че­ние двух ко­ну­сов и впи­сан­но­го шара. На ри­сун­ке BH  =  HD  =  2 см  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ния ко­ну­сов. Тогда об­ра­зу­ю­щие ко­ну­сов CB и AB со­от­вет­ствен­но равны и  см.

Най­дем пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD, опи­сан­но­го во­круг окруж­но­сти, се­че­ния впи­сан­но­го шара:

При­ме­ним для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков BHC и BHA тео­ре­мы Пи­фа­го­ра и по­лу­чим и

Зная пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, най­дем ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти: от­ку­да

Най­дем пло­щадь по­верх­но­сти впи­сан­ной сферы, зная ее ра­ди­ус:

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в два раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 8 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра боль­ше ра­ди­у­са шара (), диа­метр шара мень­ше диа­мет­ра ци­лин­дра (). Сле­до­ва­тель­но, шар по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: по­ме­стит­ся.

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в три раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 6 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Так как диа­метр шара боль­ше вы­со­ты ци­лин­дра, то шар не по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: не по­ме­стит­ся.

Так как ци­линдр опи­сан во­круг шара, его осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен вы­со­те ци­лин­дра (2r = h). Кроме того, ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра (R = r).

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей:

Ответ: 3:2.

Так как ци­линдр опи­сан во­круг шара, его осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен вы­со­те ци­лин­дра (2r = h). Кроме того, ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра (R = r).

Найдём от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 2:3.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но и Вы­ра­зим об­ра­зу­ю­щую через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: конус.

Так как сфера опи­са­на во­круг пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, то PO  — ра­ди­ус сферы, тогда а зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH имеем OA  =  R и По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке APH по­лу­ча­ем:

Тогда

Ответ:

Так как сфера опи­са­на во­круг пра­виль­ной пи­ра­ми­ды, то PO  — ра­ди­ус сферы, тогда а зна­чит,

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке AOH имеем OA  =  R и По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке APH по­лу­ча­ем:

Тогда

Ответ:

Все грани этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми. У пра­виль­ной пи­ра­ми­ды центр опи­сан­ной сферы лежит на вы­со­те H = DO₁, где O₁  — центр ос­но­ва­ния. Тогда как ра­ди­ус опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Имеем:

От­ре­зок KO  — се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку AD в плос­ко­сти DAM. Тогда DO = AO = R  — ра­ди­ус опи­сан­ной сферы. Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков OKD и AO₁D имеем: От­ку­да ис­ко­мый ра­ди­ус

Ответ: